Probabilidades e estatística I-10
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Probabilidade e conceitos relacionados |
Probabilidade e espaço amostral |
Probabilidade e conceitos relacionados
(Topo pág | Fim pág)Freqüência relativa (rA) de um evento A é a razão entre o número de vezes em que esse evento se repete (nA) e o número total (n) de eventos que for tomado como referência:
#A.1#
Exemplo: em um lote de 500 peças produzidas, há 20 defeituosas. Se A é o evento "peça com defeito" e a referência é todo o lote, a freqüência relativa de peças defeituosas é
20/500 = 0,04 = 4%
Pode-se concluir que a freqüência relativa é um número positivo entre 0 e 1 (ou entre 0 e 100, se multiplicado por 100 para resultado percentual).
Para a definição de probabilidade, toma-se a ajuda do caso particular da moeda ideal, que seria uma moeda de material perfeitamente homogêneo, de simetria perfeita entre faces e de espessura desprezível, de forma que as chances de cara e de coroa sejam iguais.
Na noção intuitiva, diz-se que a probabilidade de cara (que é igual à de coroa) de uma moeda ideal é 0,5 (ou 50%). Mas, se a moeda for jogada 4 vezes por exemplo, a freqüência relativa não será necessariamente 0,5 para cada (2 caras e 2 coroas). Embora essa seja a mais provável, podem ocorrer outras combinações (1 cara e 3 coroas, etc). Entretanto, com o aumento do número de jogadas, a freqüência relativa para cara e para coroa tende a aproximar-se de 0,5.
E a definição clássica de probabilidade é dada pelo limite da freqüência relativa:
#A.1#
A probabilidade de um evento A, P(A), é dada, portanto, pelo limite da sua freqüência relativa quando o número de observações tende para infinito.
Da definição, conclui-se que, para qualquer A,
0 ≤ P(A) ≤ 1#B.2#
Espaço amostral é um conjunto que contém todos os resultados possíveis de um experimento. Assim, no contexto desse experimento, ele é considerado o conjunto universal e simbolizado por S. Exemplos a seguir.
• no jogo de uma moeda, se convencionado "c" resultado cara e "r" resultado coroa, o espaço amostral é
S = {c, r}
.• no jogo de um dado, se o resultado a estudar é o número da face voltada para cima, o espaço amostral é
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
.Num conceito mais amplo, evento é definido como um subconjunto qualquer do espaço amostral. Portanto, um evento pode representar mais de um resultado. Exemplos:
• no jogo de dado, se o evento A significa resultado igual a 2,
A = { 2 }
.• no mesmo jogo, se o evento B significa resultado par,
B = {2, 4, 6}
.A seguir, algumas relações entre espaços amostrais, eventos e probabilidades.
• Se A é um evento do espaço amostral S, segundo notação de conjuntos, A S.
• Se
A = S
, ele é dito evento certo e, naturalmente, P(A) = 1
(a probabilidade do evento certo é 1).• Se
A = Ø
, ele é dito evento impossível e, portanto, P(A) = 0
(a probabilidade do evento impossível é nula).Probabilidade e espaço amostral
(Topo pág | Fim pág)Se A é um evento do espaço amostral S e se todos os elementos de S têm a mesma probabilidade, pode-se definir a probabilidade de A pela relação entre o número de elementos em A e o número de elementos em S:
#A.1#
Exemplo: para um dado, o espaço amostral é
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
. Se A é o evento resultado maior que 4 e o dado é ideal (todos os elementos têm a mesma probabilidade),A = {5, 6}
Portanto,
P(A) = 2/6 = 1/3
.Seguem relações básicas, algumas das quais já vistas no tópico anterior.
0 ≤ P(A) ≤ 1 para qualquer evento A#B.1#
P(Ø) = 0#B.2#
P(S) = 1#B.3#
P(A') = 1 − P(A)#B.4#
Se A B, então P(A) ≤ P(B)#B.5#
P(A B) = P(A) + P(B) − P(A B)#B.6#
Da relação #B.6#, conclui-se que, se A e B são disjuntos (ou mutuamente exclusivos),
A B = Ø
. Portanto,P(A B) = P(A) + P(B)#B.7.1#
E a igualdade pode ser estendida para qualquer número de eventos (se
A1, ... , An
são disjuntos):P(A1 ... An) = P(A1) + ... + P(An)#B.7.2#
Exemplo: seja o espaço amostral
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
de um dado ideal.O evento resultado par é dado por:
A = {2, 4, 6}
. Portanto, P(A) = 3/6 = 1/2
.O evento resultado igual a 3 é dado por:
B = { 3 }
. Portanto, P(B) = 1/6
.A e B são disjuntos porque não têm elementos comuns. Então, a probabilidade de resultado par ou resultado igual a 3 é
P(A) + P(B) = 1/2 + 1/6 = 2/3
.
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