Blog da Matemática E .Fund

Potência de expoente inteiro: Introdução

Vimos no tópico anterior, que trabalhamos somente com números n positivos, pois o conjunto dos números naturais é formado por: N={ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, ... } . Agora vamos trabalhar com um novo conjunto, onde poderemos atribuir um significado para à potência an , onde a pertence a R+, e n pertence a Z é um número inteiro, que pode ser negativo ou igual à zero, pois:

Vimos no tópico anterior, que trabalhamos somente com números n positivos, pois o conjunto dos números naturais é formado por:

N={ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,

} . Agora vamos trabalhar com um novo conjunto, onde

poderemos atribuir um significado para à potência an , onde a  R+, e n  Z é um número inteiro, que pode ser negativo ou igual à zero, pois:

Z = {

, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.

De modo que a propriedade fundamental da potenciação am . an = am+n deve ser mantida
Vejamos a seguinte igualdade:
Uma forma prática de entender porque a0 = 1 .
Observe a tabela:

23 implica em	2.2.2 = 8
2 implica em	2.2 = 4
21 implica em	2 = 2
20 implica em	= 1

( Veja potências especiais no tópico I) Desta forma, dado qualquer n  N* , devemos ter, para a ≠ 0:a-n . a n = a-n + n =a0 = 1 ,

portanto a-n . a n =1, ou seja: Dado um número real a, não nulo, e um número n natural, chama-se potência de base a, e

expoente -n o número a-n , que é o inverso de an , ou seja: Vejamos alguns exemplos números inversos:

Observação:

(-a )par

= positivo.

(-a )impar = negativo.
Potência de base NEGATIVA, e expoente IMPAR, o resultado é NEGATIVO. Potência de base NEGATIVA, e expoente PAR, o resultado é POSITIVO.
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://w.novapdf.com)

( a )impar = positivo

( a )par = positivo.
Potência de base POSITIVA, e expoente PAR o resultado é sempre POSITIVO.
Se liga! Quando a base é um número negativo, é necessário escrevê-la entre parênteses.
Compare os seguintes exemplos:

Logo, se a base não apresentar parênteses, o sinal de negativo será aplicado somente após obtermos o resultado da potenciação. O mesmo fato acontece, se a base esta dentro de parênteses, mas existe um sinal negativo antes dela, como nos exemplos a) e b) acima.
Observação: Apartir da validade da definição para potência de expoente inteiro negativo, todas as propriedades válidas para números naturais, também são válidas para quaisquer expoentes m e n inteiros positivos ou negativos.
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://w.novapdf.com)
INVERSO DO NÚMERO a ≠ 0 .

Exercícios resolvidos e explicados:

a) 34

= 3.3.3.3 = 81

1. Calcule as potências com expoentes em R.

A base a=3

O expoente n= 4 Temos 4 fatores, pois n=4 .

Observe os elementos dados: Resultado = 81 ,pois 4.4.4.4 = 81 = 34

b) -34

= - ( 3.3.3.3 ) = - 81

A base a=3

O expoente n= 4 Temos 4 fatores, pois n=4 .

Observe os elementos dados: Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://w.novapdf.com)
O sinal negativo é carregado depois dos cálculos. Resultado = - 81 ,pois –( 3.3.3.3) = - 81 = - 34

c) (-3)4

= (-3).(-3).(-3).(-3) = 81

A base a= -3

O expoente n= 4 Temos 4 fatores, pois n=4 .

Agora é a sua vez!

1	- a ) (+2)2 b) 2 c) -2 d) -(2)2 e ) –(-2)2
2	- a ) (+3)2 b) 32 c) -32 d) -(3)2 e ) –(-3)2

Exercícios propostos: Calcular o valor das potências. Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://w.novapdf.com)

4	- a ) (+2)3 b) 23 c) -23 d) -(2)3 e ) –(-2)3
5	- a ) (+3)3 b) 3 c) -3 d) -(3)3 e ) –(-3)3
6	- a ) (+4)3 b) 43 c) -43 d) -(4)3 e ) –(-4)3
7	- a ) (+a)2 b) a2 c) -a2 d) -(a)2 e ) –(-a)2
8	- a ) (+2)-2 b) 2-2 c) -2-2 d) -(2) -2 e ) –(-2) -2
9	- a ) (+2)-3 b) 2-3 c) -2-3 d) -(2) -3 e ) –(-2) -3
10	- a ) (+a)-1 b) a-1 c) -a-1 d) -(a) -1 e ) –(-a) -1

3 - a ) (+4)2 b) 42 c) -42 d) -(4)2 e ) –(-4)2 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://w.novapdf.com)

Calcule o valor das operações com as potências Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://w.novapdf.com)
IR PARA O CONTEÚDO POTENCIAÇÃO Tópicos do conteúdo:
1 - Potenciação:Histórias e Rimas
2 - Potência de expoente natural: Introdução.

4 - Potências de números Racionais,Irracionais e Reais
PRÓXIMO TÓPICO: POTÊNCIAS DE NÚMEROS RACIONAIS,IRRACIONAIS,REAIS

3 - Potência de expoente inteiro.

aplicações que envolvem as propriedades do triângulo Aritmético

GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Ângela (org). Por trás da porta, que a matemática acontece. Campinas:UNICAMP , 2001.
IMENES, Luiz. ; LELLIS, Marcelo. Matemática. 5a a 8a série . Scipione, 1998.
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://w.novapdf.com)
BIGODE, Antonio José Lopes, 1955 – Matemática hoje é feita assim / Antonio José Lopes Bigode, - São Paulo:FTD, 2000. 5a série.
GIOVANNI, José Ruy; 1937 – A conquista da matemática – Nova / José Giovanni, Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni Jr. – São Paulo: FTD, 1998.
IMENES, Luiz. ; LELLIS, Marcelo. Matemática. 5a a 8a série . Scipione, 1998.
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://w.novapdf.com)