sábado, 2 de julho de 2011

Operações com frações

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Matemática elementar/Conjuntos/Números racionais

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Índice

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[editar] Números racionais e frações

Fração é um número que exprime uma ou mais partes iguais que foi divida uma unidade ou um inteiro.
Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza inteira e a dividirmos em quatro partes iguais, cada parte representará uma fração da pizza.
Na matemática, um número racional (ou, vulgarmente, fração) é uma razão entre dois inteiros, geralmente escrita na forma a/b\,\!, onde b \,\! é um número inteiro diferente de Zero.

Exemplos:

\frac{29}{8}: 3 (= \frac{3}{1} ): -\frac{29}{8}: 3 \frac{5}{8}: 0 (= \frac{0}{x} )

A adição e multiplicação de racionais é dada da seguinte forma:
\begin{matrix}{a \over b} & + & {c \over d} & = & {ad+bc \over bd} \\ {a \over b} & \cdot & {c \over d} & = & {ac \over bd} \end{matrix}
Exemplo:

Frações.png

\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}
Dois números racionais a/b e c/d são iguais apenas se ad = bc.

O conjunto de todos os números racionais é Q, ou:
\mathbb{Q}
Cada número racional pode ser escrito de diversas formas, como, por exemplo, 3/6 = 2/4 = 1/2. A forma mais simples é quando a e b não possuem divisores em comum, e todo racional tem uma forma como esta. A expansão decimal de um racional é finita ou periódica, propriedade que caracteriza os números racionais.

[editar] Definições

De modo simples, pode-se dizer que uma fração de um número, representada de modo genérico como \frac{a}{b}, designa este número {a} \,\! dividido em {b} \,\! partes iguais. Neste caso, {a} \,\! corresponde ao numerador, enquanto {b} \,\! corresponde ao denominador.
Por exemplo, a fração \frac{56}{8} designa o quociente de 56 \,\! por 8 \,\!. Ela é igual a 7 \,\!, pois 7 \,\! x 8 \,\! = 56 \,\!.
Nota: A divisão é a operação inversa da multiplicação.
Os números expressos em frações são chamados de números racionais. O conjunto dos racionais é representado por \mathbb Q.

\mathbb Q = {x \,\! / x \,\! = \frac{a}{b}, com a \in \mathbb{Z} e b \in \mathbb{Z} \ne  0}

[editar] Decimais

[editar] Decimais exatos

\frac{1}{2} = 0,5 \,\!

\frac{1}{5} = 0,2 \,\!

[editar] Decimais periódicos

\frac{5}{3} = 1,66... \,\! (a)

\frac{7}{6} = 1,166... \,\! (b)
Os decimais periódicos são denominados dízimas periódicas. As dízimas periódicas podem ser simples como no exemplo (a) ou compostas como no exemplo (b). A fração que originou a dízima periódica é denominada de fração geratriz e a parte que repete na dízima é denominada período.

[editar] Geratriz de dízima periódica

[editar] Dízima simples
A fração geratriz é obtida usando-se como numerador o período e como denominador um número formado por tantos noves quantos forem os algarismos do período.

0,6666.. \,\! \Rightarrow \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

1,6666... \,\! = 1\,\! + 0,6\,\! \Rightarrow 1\,\! + \frac{6}{9} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}
[editar] Dízima composta
A fração geratriz terá como numerador a parte não-periódica, seguida do período menos a parte não-periódica, e denominador um número formado de tantos noves quanto são os algarismos do período, seguido de tantos zeros quantos são os algarismos da parte não-periódica (ante-período).
1,166... \,\! => 1 \,\! + 0,166... \,\! = 1 \,\! + \frac{15}{9} = \frac{105}{90} = \frac{7}{6}
[editar] Conversão entre dízima e fração
Seja o número x = 2,333... (dízima). O periodo da dízima é o número 3 (um só dígito), assim, para colocar o período da dízima antes da vírgula, fazemos 10*x = 23,333.... Agora, podemos eliminar a dízima fazendo a subtração: 10*x - x = 23,333... - 2,333..., ou seja, 9*x = 21 x = \,\!\begin{matrix}\frac{21}{9}\end{matrix}
Outro exemplo mais complexo desta conversão, que ocorre quando a dízima se apresente mais à frente da vírgula: x = 38,07821821821... (dízima). Após a virgula, temos os números "07"´(dois dígitos) que não fazem parte do período e o período "821" (três dígitos).
Primeiro isolamos o período logo após a vírgula:
100*x = 3807,821821821...
Agora repetimos o processo do exemplo anterior:
100.000*x = 3807821,821821821...
Fazemos então a subtração
100.000*x - 100*x = 3807821,821821821... - 3807,821821821..., assim, temos que
99900*x = 3804014 , portanto
x = \,\!\begin{matrix}\frac{3804014}{99900}\end{matrix}, que poderá ainda ser simplificada.
Como decorrência da repetição deste processo de conversão, podemos chegar à seguinte regra prática de conversão de dízimas em frações. Vamos aplicá-la ao número 38,07821821821...
Eis os passos:
1. O período da dízima tem 3 dígitos, que é o número de algarismos nove (999 portanto);
2. Após a vírgula temos 2 dígitos que não fazem parte da dízima, que é o número de zeros (00 portanto);
3. Temos assim o denominador da fração que será 99900;
4. O númerador da fração será a diferença do número formado pelos algarismos até o primeiro período da dízima, no caso 3807821, pelo número formado pelos algarismos que antecedem o início da dízima, no caso 3807. Temos então 3807821 - 3807.
5. A fração será, portanto, \,\!\begin{matrix}\frac{3807821 - 3807}{99900}\end{matrix}.

[editar] Tipos de frações

  • própria: o numerador é menor que o denominador. Ex.: \frac{1}{2}
  • imprópria: o numerador é maior que o denominador. Ex.: \frac{7}{3}
  • mista: constituída por uma parte inteira e uma fracionária. Ex.: 2 \frac{1}{3}
  • aparente: o numerador é múltiplo do denominador. Ex.: \frac{12}{4}
  • equivalentes: aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração. Ex.: \frac{4}{8} = \frac{1}{2}
  • irredutível: o numerador e o denominador são primos entre si, não permitindo simplificação. Ex.: \frac{9}{22}
  • unitária: o numerador é igual a 1 e o denominador é um inteiro positivo. Ex.: \frac{1}{3}
  • egípcia: fração que é a soma de frações unitárias, distintas entre si. Ex: {\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{15}} = \frac{3}{5}
  • decimal: o denominador é uma potência de 10. Ex.: \frac{437}{100}
  • composta: fração cujo numerador e denominador são frações: \frac{\frac{19}{15}}{\frac{5}{6}}
  • contínua: fração constituída a partir de uma sequência de inteiros naturais (a0,a1,a2,a3,...,ak,...) da seguinte maneira a_0 + \frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{...}}}}. Quando esta fração contínua termina, o seu resultado é um número racional, porém quando esta fração não termina, o resultado pode ser racional ou irracional.

[editar] Operações

[editar] Multiplicação

Multiplicam-se os numeradores entre si e os denominadores entre si. Ex.:
{3 \over 5} \times {2 \over 7} = \frac{{3} \times {2}}{{5} \times {7}} = {6 \over 35}

Para multiplicar uma fração por um número inteiro, considera-se que este é uma fração cujo denominador é igual a 1. Ex.:
3 \times {1 \over 4} = {3 \over 1} \times {1 \over 4} = {3 \over 4}
É importante notar que, muitas vezes, a multiplicação dos numeradores e denominadores resulta em frações redutíveis. Esta fração deve ser reduzida a uma fração irredutível:
{1 \over 3} \times {9 \over 2} = {9 \over 6} = {\not{9}^3 \over \not{6}^2} = {3 \over 2}\,
Costuma ser mais prático simplificar antes de efetuar a multiplicação:
{1 \over 3} \times {9 \over 2} = {1 \over \not{3}^1} \times {\not{9}^3 \over 2} = {3 \over 2}\,

[editar] Divisão

Como visto, a divisão é a operação inversa da multiplicação. É importante ter isso em mente para resolver uma divisão entre frações:
\frac{3}{5} ÷ \frac{7}{2}
Primeiramente inverte-se o divisor da segunda fração. Com isto, tem-se a inversão da operação, isto é, passará a haver uma multiplicação:
{\frac{3}{5}}\times{\frac{2}{7}} = {6 \over 35}
Que se resolve como mostrado acima.

[editar] Adição

Caso os denominadores não sejam iguais é preciso, antes de efetuar a adição, encontrar o menor múltiplo comum (MMC) entre os denominadores:
{\frac{2}{3}+\frac{3}{5}}
Encontrado o MMC, este será dividido por cada um dos denominadores, multiplicando-se o resultado desta divisão pelo respectivo numerador. Como o MMC de 3 e 5 é 15, tem-se que:
{15 \over {3}} = {5}     5 \times {2} = {10}: {15 \over {5}} = {3}     3 \times {3} = {9}
Sendo iguais os denominadores, pode-se efetuar a adição entre os numeradores:
{\frac{10+9}{15}}
O denominador comum é mantido:
{\frac{19}{15}}

[editar] Subtração

A subtração é feita seguindo-se os mesmos passos da adição.

[editar] Exponenciação

É indiferente resolver primeiro a exponenciação ou a divisão:
{\left ( \frac{1}{2} \right )^2} = {{1}^{2} \over {2}^{2}} = {\frac{1}{4}} = 0,25
Efetuando-se primeiramente a divisão obtém-se o mesmo resultado:
{\left ( \frac{1}{2} \right )^2} = {({0,5})^{2}} = 0,25

[editar] Radiciação

A radiciação de uma fração é feita seguindo-se os mesmos passos da potenciação.

[editar] Expoente fracionário

Da mesma forma que na divisão entre frações, a ocorrência de expoente fracionário causa a inversão da operação:
8^{{2} \over {3}} = \sqrt[3]{8}^2 = \sqrt[3]{64} = {4}

[editar] Simplificação de frações

Uma fração pode ser simplificada quando numerador e denominador não são primos entre si. Ex.:
\frac{8}{4}
Para tanto basta dividi-los pelo máximo divisor comum (MDC) entre eles, obtendo-se uma fração que, além de manter a proporção da original, é do tipo irredutível:
{{\frac{8:4}{4:4}}} = {{2} \over {1}}

[editar] Comparação entre frações

Para estabelecer comparação entre frações, é preciso que elas tenham o mesmo denominador. Isso é obtido através do menor múltiplo comum, como foi visto na adição.
\frac{2}{5}   ?   \frac{3}{7}
O MMC entre 5 e 7 é 35.
{35 \over {5}} = {7}     7 \times {2} = {14}: {35 \over {7}} = {5}     5 \times {3} = {15}
Uma vez igualados os denomidores,pode-se fazer a comparação entre as frações:
{\frac{14}{35}} < {\frac{15}{35}} {\frac{2}{5}} < {\frac{3}{7}}
A comparação entre frações com denominadores diversos vale-se do fato de que há frações que são equivalentes entre si, pois:
\frac{14}{35} = \frac{2}{5}   e   \frac{15}{35} = \frac{3}{7}

[editar] Conversão entre frações impróprias e mistas

Uma fração do tipo imprópria pode ser convertida para mista e vice-versa.
\frac{7}{3}
Para tanto, basta dividir o numerador pelo denominador. O quociente será o numerador da fração mista e o resto será o numerador. Como o quociente da divisão 7 ÷ 3 é igual a 2 e o resto é 1, tem-se que a fração acima, escrita como fração mista, terá a seguinte notação:
2 \frac{1}{3}
Para fazer o caminho inverso, basta multiplicar o denominador pela parte inteira e somar o resultado ao numerador, mantendo-se o denominador. Como o produto 3 × 2 é igual a 6 e a soma 6 + 1 é igual a 7, obtém-se novamente a notação sob a forma de fração imprópria, como visto acima.

[editar] Ver também

[editar] Wikilivros

[editar] Wikipédia

Ferramentas pessoais
Espaços nominais
Variantes
Acções

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