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Matemática elementar/Conjuntos/Números racionais
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[editar] Números racionais e frações
Fração é um número que exprime uma ou mais partes iguais que foi divida uma unidade ou um inteiro.Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza inteira e a dividirmos em quatro partes iguais, cada parte representará uma fração da pizza.
Na matemática, um número racional (ou, vulgarmente, fração) é uma razão entre dois inteiros, geralmente escrita na forma onde é um número inteiro diferente de Zero.
Exemplos:
A adição e multiplicação de racionais é dada da seguinte forma:
- + =
O conjunto de todos os números racionais é Q, ou:
[editar] Definições
De modo simples, pode-se dizer que uma fração de um número, representada de modo genérico como designa este número dividido em partes iguais. Neste caso, corresponde ao numerador, enquanto corresponde ao denominador.Por exemplo, a fração designa o quociente de por Ela é igual a pois x =
Nota: A divisão é a operação inversa da multiplicação.
Os números expressos em frações são chamados de números racionais. O conjunto dos racionais é representado por
-
- = { / = com e }
[editar] Decimais
[editar] Decimais exatos
==
[editar] Decimais periódicos
= (a)= (b)
Os decimais periódicos são denominados dízimas periódicas. As dízimas periódicas podem ser simples como no exemplo (a) ou compostas como no exemplo (b). A fração que originou a dízima periódica é denominada de fração geratriz e a parte que repete na dízima é denominada período.
[editar] Geratriz de dízima periódica
[editar] Dízima simples
A fração geratriz é obtida usando-se como numerador o período e como denominador um número formado por tantos noves quantos forem os algarismos do período.[editar] Dízima composta
A fração geratriz terá como numerador a parte não-periódica, seguida do período menos a parte não-periódica, e denominador um número formado de tantos noves quanto são os algarismos do período, seguido de tantos zeros quantos são os algarismos da parte não-periódica (ante-período).=> + = + = =
[editar] Conversão entre dízima e fração
Seja o número x = 2,333... (dízima). O periodo da dízima é o número 3 (um só dígito), assim, para colocar o período da dízima antes da vírgula, fazemos 10*x = 23,333.... Agora, podemos eliminar a dízima fazendo a subtração: 10*x - x = 23,333... - 2,333..., ou seja, 9*x = 21 x =Outro exemplo mais complexo desta conversão, que ocorre quando a dízima se apresente mais à frente da vírgula: x = 38,07821821821... (dízima). Após a virgula, temos os números "07"´(dois dígitos) que não fazem parte do período e o período "821" (três dígitos).
Primeiro isolamos o período logo após a vírgula:
100*x = 3807,821821821...
Agora repetimos o processo do exemplo anterior:
100.000*x = 3807821,821821821...
Fazemos então a subtração
100.000*x - 100*x = 3807821,821821821... - 3807,821821821..., assim, temos que
99900*x = 3804014 , portanto
x = , que poderá ainda ser simplificada.
Como decorrência da repetição deste processo de conversão, podemos chegar à seguinte regra prática de conversão de dízimas em frações. Vamos aplicá-la ao número 38,07821821821...
Eis os passos:
1. O período da dízima tem 3 dígitos, que é o número de algarismos nove (999 portanto);
2. Após a vírgula temos 2 dígitos que não fazem parte da dízima, que é o número de zeros (00 portanto);
3. Temos assim o denominador da fração que será 99900;
4. O númerador da fração será a diferença do número formado pelos algarismos até o primeiro período da dízima, no caso 3807821, pelo número formado pelos algarismos que antecedem o início da dízima, no caso 3807. Temos então 3807821 - 3807.
5. A fração será, portanto, .
[editar] Tipos de frações
- própria: o numerador é menor que o denominador. Ex.:
- imprópria: o numerador é maior que o denominador. Ex.:
- mista: constituída por uma parte inteira e uma fracionária. Ex.:
- aparente: o numerador é múltiplo do denominador. Ex.:
- equivalentes: aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração. Ex.:
- irredutível: o numerador e o denominador são primos entre si, não permitindo simplificação. Ex.:
- unitária: o numerador é igual a 1 e o denominador é um inteiro positivo. Ex.:
- egípcia: fração que é a soma de frações unitárias, distintas entre si. Ex:
- decimal: o denominador é uma potência de 10. Ex.:
- composta: fração cujo numerador e denominador são frações:
- contínua: fração constituída a partir de uma sequência de inteiros naturais (a0,a1,a2,a3,...,ak,...) da seguinte maneira Quando esta fração contínua termina, o seu resultado é um número racional, porém quando esta fração não termina, o resultado pode ser racional ou irracional.
[editar] Operações
[editar] Multiplicação
Multiplicam-se os numeradores entre si e os denominadores entre si. Ex.:Para multiplicar uma fração por um número inteiro, considera-se que este é uma fração cujo denominador é igual a 1. Ex.:
[editar] Divisão
Como visto, a divisão é a operação inversa da multiplicação. É importante ter isso em mente para resolver uma divisão entre frações:- ÷
[editar] Adição
Caso os denominadores não sejam iguais é preciso, antes de efetuar a adição, encontrar o menor múltiplo comum (MMC) entre os denominadores:- ∴ ∴
[editar] Subtração
A subtração é feita seguindo-se os mesmos passos da adição.[editar] Exponenciação
É indiferente resolver primeiro a exponenciação ou a divisão:[editar] Radiciação
A radiciação de uma fração é feita seguindo-se os mesmos passos da potenciação.[editar] Expoente fracionário
Da mesma forma que na divisão entre frações, a ocorrência de expoente fracionário causa a inversão da operação:[editar] Simplificação de frações
Uma fração pode ser simplificada quando numerador e denominador não são primos entre si. Ex.:[editar] Comparação entre frações
Para estabelecer comparação entre frações, é preciso que elas tenham o mesmo denominador. Isso é obtido através do menor múltiplo comum, como foi visto na adição.- ?
- ∴ ∴
- < ∴ <
- e
[editar] Conversão entre frações impróprias e mistas
Uma fração do tipo imprópria pode ser convertida para mista e vice-versa.[editar] Ver também
[editar] Wikilivros
- Análise real/Números racionais - texto mais avançado
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