Objetivos • Introduzir os conceitos de perpendicularidade e de paralelismo.
Introduzir o quinto postulado de Euclides, ressaltando sua grande importancia hist orica e te orica.
Apresentar os primeiros resultados decorrentes do quinto postulado.
Discutiremos nesta aula os importantes conceitos de perpendicularidade e paralelismo entre retas.
J a vimos, na aula 1, que duas retas s~ao paralelas quando n~ao se intersectam. A seguir, veremos o que signi ca dizer que duas retas s~ao perpendiculares.
Observe o desenho abaixo. As retas s~ao paralelas ou n~ao?
As retas s~ao paralelas. Veri que com uma r egua.
Usando os resultados das aulas anteriores, e poss vel provar as seguintes proposi c~oes:
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Perpendicularidade e paralelismo
Proposi c~ao 7 Dados uma reta r e um ponto P, existe uma unica reta s perpendicular a r passando por P.
s r
Fig. 69: Reta s perpendicular a r passando por P.
Proposi c~ao 8 Dados uma reta r e um ponto P fora de r, existe uma reta s paralela a r contendo P.
s r
Fig. 70: Reta s paralela a r contendo P.
As provas dessas proposi c~oes est~ao no Apendice que aparece no nal da aula, e voce deve estud a-las num segundo momento, ap os ter dominado o uso destas proposi c~oes para resolver problemas.
Observe a gura 71.
s r
Fig. 71: O ponto Q e o p e da perpendicular.
O ponto Q e chamado de p e da perpendicular baixada do ponto P a reta r e o ponto T pertencente a reta s e chamado de re exo do ponto P em rela c~ao a reta r, desde que PQ ≡ QT.
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Perpendicularidade e paralelismo M ODULO 1 - AULA 5
Note que a palavra unica no enunciado da proposi c~ao 7 n~ao aparece no enunciado da proposi c~ao 8. Na verdade, n~ao e poss vel provar, usando apenas os axiomas e os resultados anteriores, que s o existe uma reta com a propriedade desejada.
Voce sabia que...
A unicidade da paralela (chamado de Quinto Postulado de Euclides) foi proposta por Euclides como um axioma. Por muitos anos (mais de 2.0!) v arios matem aticos tentaram provar, sem sucesso, que a unicidade da paralela decorria dos outros axiomas. Foi somente na primeira metade do s eculo XIX que os matem aticos chegaram a conclus~ao de que o quinto postulado n~ao era demonstr avel a partir dos outros quatro. Isso ocorreu com a descoberta das chamadas geometrias n~ao-euclidianas em que o quinto postulado de Euclides e substitu do por uma outra a rma c~ao que lhe e contradit oria. Essa descoberta est a associada ao nome de dois matem aticos que a obtiveram independentemente: J anos Bolyai (1802-1860) e Nikolai I. Lobachevsky (1793-1856).
Apresentamos, agora, o axioma que e conhecido como o Quinto Postulado de Euclides.
Quinto Postulado de Euclides
• Por um ponto fora de uma reta passa uma unica reta paralela a reta dada.
Antes de obter algumas consequencias do Quinto Postulado de Euclides, de niremos o importante conceito de mediatriz de um segmento.
De ni c~ao 13 A mediatriz de um segmento e a reta perpendicular a esse segmento em seu ponto m edio (veja gura 72).
r A
B Fig. 72: A reta r e mediatriz do segmento AB.
Agora considere duas retas r e s; suponha que t e uma reta que corta as duas. A reta t e chamada transversal as retas r e s. Considere os oito angulos indicados na gura 73, numerados para facilitar a explica c~ao.
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J anos Bolyai 1802-1860 d.C., Romenia.
J anos Bolyai nasceu na
Transilvania, naquela epoca parte da Hungria e do
Imp erio Austr aco. Entre 1820 e 1823, ele preparou um tratado sobre um sistema completo de Geometria n~ao-euclidiana. Antes de o trabalho ser publicado, ele descobriu que Gauss tinha antecipado muito do seu trabalho. Embora Gauss nunca tivesse publicado seu trabalho nessa area, isso era um ponto de honra para
Bolyai. Por em, o trabalho do Bolyai foi publicado em 1832 como apendice de um ensaio, por seu pai.
Consulte: http://w-groups.dcs. st-nd.ac.uk/~history/ Mathematicians/Bolyai. html
Proposi c~ao 9 Se duas retas cortadas por uma transversal determinam um par de angulos alternos internos congruentes, ent~ao as retas s~ao paralelas.
Prova:
Suponha que r e s s~ao cortadas por t, como na hip otese da proposi c~ao.
Se r e s n~ao fossem paralelas, elas teriam um ponto em comum, como na gura 74.
s t
Fig. 74: Proposi c~ao 9.
Ter amos ent~ao um triangulo para o qual um angulo externo seria igual a um angulo interno n~ao adjacente, o que seria contradit orio com o teorema do angulo externo. Logo r e s s~ao paralelas.
Na proposi c~ao seguinte utilizaremos pela primeira vez o Quinto Postulado de Euclides.
Proposi c~ao 10 Se duas retas paralelas s~ao cortadas por uma transversal, os angulos alternos internos s~ao congruentes.A proposi c~ao 10 e quivalente a proposi c~ao 29 do livro I dos Elementos, em que Euclides usou o Quinto Postulado pela primeira vez.
Prova:
Sejam r e s duas retas paralelas cortadas por uma transversal t nos pontos A e B, respectivamente. Sejam C e F pontos de r e G e D pontos de s dispostos como na gura 75.
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Perpendicularidade e paralelismo M ODULO 1 - AULA 5 s t
Fig. 75: t e transversal as retas paralelas r e s.
Provaremos que os angulos BAC e ABD s~ao congruentes. Para isso, vamos supor que tal fato n~ao aconte ca, ou seja, que B AC > A BD ou A BD > B AC.
Voce sabia que...
Nikolai I. Lobachevsky (1793-1856 d.C., R ussia) foi o primeiro a publicar um relato sobre Geometria n~ao-euclidiana (1829). Seu trabalho atraiu pouca aten c~ao quando apareceu porque foi publicado em russo e os russos que o leram zeram severas cr ticas. Em 1840, ele publicou um tratado em alem~ao, atrav es do qual suas descobertas chegaram ao conhecimento de Gauss. Em uma carta a
Schumacher, Gauss elogiou o trabalho de Lobachevsky, mas ao mesmo tempo reiterou sua prioridade nesse assunto. Lobachevsky n~ao teve o merecido reconhecimento durante sua vida. De fato, em 1846 ele foi demitido da Universidade de Kazan, apesar dos vinte anos de not aveis servi cos prestados como professor e administrador. Somente ap os a morte de Gauss (1855), quando suas correspondencias foram publicadas, o mundo come cou a reconhecer os trabalhos de Lobachevsky sobre Geometria n~ao-euclidiana.
Em qualquer caso, no semiplano determinado por t que cont em C, tra camos a semi-reta −!AE tal que BAE ABD, como na gura 76. O lado esquerdo da gura 76 representa o caso B AC > A BD, enquanto que o lado direito, o caso A BD > B AC.
s t s t
Fig. 76: Proposi c~ao 10.
As retas !AE e s s~ao cortadas por t de forma que os angulos alternos internos BAE e ABD s~ao congruentes. Usando a proposi c~ao 9, conclu mosque !AE e paralela a s, e portanto existem duas paralelas a s ( !AE e r) passando pelo ponto A, o que contraria o Quinto Postulado de Euclides. Chegamos a essa contradi c~ao porque assumimos que B AC n~ao e congruente a A BD. Logo, devemos ter B AC A BD.
O teorema a seguir e um dos mais utilizados da Geometria euclidiana.
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Perpendicularidade e paralelismo
Lei Angular de Tales A soma dos angulos internos de qualquer triangulo e 180o.
Prova: Seja ABC um triangulo e seja s a reta que passa por A e e paralela areta ←!BC, como na gura 7.
B C D E s
Fig. 7: Reta s paralela a reta que cont em os pontos B e C.
Sobre s marque pontos D e E. Como a reta !AB e transversal as retas paralelas s e !BC, podemos concluir, a partir da proposi c~ao 10, que A BC D AB. Analogamente, considerando a transversal !AC, podemos concluir que A CB E AC. Logo,
Voce sabia que...
Considerado o primeiro l osofo grego, introdutor da Geometria na Gr ecia. Como rico negociante de azeite da cidade de Mileto, litoral da Asia Menor (atual Turquia),
Tales percorreu in umeras vezes o litoral do
Mediterraneo, entre 600 a.C. e 550 a.C., e conheceu as obras de v arios matem aticos e astronomos da regi~ao, principalmente no Egito. Ao aposentar-se, dedicou-se a
Matem atica e estabeleceu os primeiros postulados b asicos da Geometria. E atribu do a ele o c alculo da altura de uma piramide a partir do comprimento de sua sombra, em determinado hor ario do dia e dependendo da posi c~ao do sol. Na Filoso a, Tales defendeu a existencia de uma substancia fundamental que d a origem ao movimento e a transforma c~ao da vida.
At e Tales, todas as explica c~oes sobre o Universo eram mitol ogicas. Consulte: http://w-groups.dcs. st-nd.ac.uk/~history/ Mathematicians/Tales.html
Notas:
1) Como os angulos internos de um triangulo equil atero tem todos a mesma medida, segue da Lei Angular de Tales que cada um deles mede 60o.
Perpendicularidade e paralelismo M ODULO 1 - AULA 5
Resumo Nesta aula voce aprendeu...
• O que signi ca dizer que duas retas s~ao paralelas ou perpendiculares.
Que s o existe uma reta passando por um ponto e perpendicular a uma reta dada.
Que s o existe uma reta passando por um ponto e paralela a uma reta dada.
Que angulos alternos internos s~ao congruentes. Que a soma dos angulos internos de um triangulo e 180o.
| \Num plano, se duas retas s~ao | , ent~ao toda reta............... a uma |
| delas e | a outra" |
1. (PUC-SP, 1983) Considere a senten ca: A alternativa que preenche corretamente as lacunas e:
(a) Paralelas, perpendicular, paralela (b) Perpendiculares, paralela, paralela (c) Perpendiculares, perpendicular, perpendicular (d) Paralelas, paralela, perpendicular (e) Perpendiculares, paralela, perpendicular
2. (UFMG, 1992) Com base nos dados da gura 78, pode-se a rmar que o maior segmento e: A
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Perpendicularidade e paralelismo
3. Determine os angulos x e y indicados na gura 79 onde D = 25◦ e AE e BD s~ao segmentos de reta. (Lembre-se de que as indica c~oes dadas pelos tra cos curtos transversais signi cam que AB ≡ AC CD e
Perpendicularidade e paralelismo
1. Na gura 87, B AC e reto e M e o ponto m edio de BC. Determine M AN.
N M 30 60 o o
13. Considere os triangulos T1; T2;:::; T12 da gura 89. Assinale os pares de triangulos congruentes e indique o caso de congruencia.
Perpendicularidade e paralelismo M ODULO 1 - AULA 5
16. (Distancia de ponto a reta) Sejam r uma reta e P =2 r. Se Q e o p e da perpendicular baixada de P a reta r, prove que Q e o ponto de r mais pr oximo de P. A medida do segmento PQ e de nida como a distancia de P a r.
17. Prove que a medida de um angulo externo de um triangulo e igual a soma das medidas dos angulos internos a ele n~ao-adjacentes.
18. (Desa o) Na gura 91, as retas r e s s~ao perpendiculares.
s A B
Qual e o caminho mais curto para ir do ponto A ao ponto B tocando-se nas duas retas?
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Perpendicularidade e paralelismo
19. Seja ABC um triangulo e r uma reta que n~ao corta ABC. Sejam A′,
B0 e C0 os re exos de, respectivamente, A, B e C em rela c~ao a r, como na gura 92.
Prove que o triangulo A0B0C0 e congruente a ABC.
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Perpendicularidade e paralelismo M ODULO 1 - AULA 5
Apendice: Para saber mais...
Neste Apendice vamos apresentar uma prova das proposi c~oes 7 e 8 que enunciamos nesta aula.
Proposi c~ao 7 Dada uma reta r e um ponto P, existe uma unica reta s perpendicular a r passando por P.
Prova:
Temos dois casos a considerar: P ∈ r e P =2 r. O caso em que P 2 r pode ser demonstrado facilmente a partir dos axiomas sobre medi c~ao de angulos (veja a aula 2). No caso em que P =2 r, tome pontos distintos A e B em r e trace AP. No outro semiplano determinado por r, trace umasemi-reta !AC de modo que B AC P AB ( gura 94).
B P r
Fig. 94:
Sobre !AC marque o ponto D tal que AD AP. Seja E o ponto em que PD intersecta r. Prove que PAE DAE. Segue da que P EA D EA. Logo, P EA e reto e, portanto, !PE e perpendicular a r.
Est a provado, assim, que existe uma reta passando por P e perpendicular a r. Falta provar que n~ao existe outra reta com essa propriedade.
Suponha que exista outra reta !PF que seja perpendicular a r ( gura 95).
E F P r
Fig. 95:
Use o teorema do angulo externo para mostrar que isso e um absurdo.
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Perpendicularidade e paralelismo
Proposi c~ao 8 Dados uma reta r e um ponto P fora de r, existe uma reta s paralela a r contendo P.
Prova: Sejam r uma reta e P =∈ r. Seja !PA a reta passando por P e perpendi- cular a r. Trace a semi-reta !PB tal que APB e reto. Prove, por contradi c~ao,que !PB e paralela a r. (Se !PB e r n~ao fossem paralelas, elas se intersectariam em um ponto C, formando um triangulo com dois angulos retos).
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