A razão pela qual Gauss manteve em segredo suas descobertas, foi o fato de que a filosofia de Kant dominava a Alemanha da época e seus dogmas eram que as idéias da geometria euclidiana eram as únicas possíveis. Gauss sabia que essa idéia era totalmente falsa, mas para não entrar em conflito com os filósofos da época resolveu manter-se em silêncio.
Em 1829 ele escreveu o seguinte para Bessel: “Não irei dedicar muitos de meus esforços para escrever algo publicável sobre esse assunto (fundamentos da geometria), pois tenho horror aos gritos histéricos que ouviríamos dos beócios se eu tornasse claro meus pensamentos sobre o assunto.”
Por mais de dois mil anos os geômetras se ocuparam nas tentativas de provar o postulado das paralelas como um teorema a partir dos restantes, nove axiomas e postulados, o que culminou em alguns dos desenvolvimentos de maior alcance da matemática moderna. Das muitas demonstrações dadas a este postulado foi provado que cada uma delas se baseava numa suposição tática equivalente a ele.
A honra dessa particular descoberta, a geometria não euclidiana, deve-se a Bolyai e Lobachevsky, apesar de Gauss ter sido o primeiro a alcançar tais conclusões.
Esses homens abordaram a questão através do postulado das paralelas na forma de Playfair, considerando as três possibilidades: por um ponto dado pode se traçar mais de uma, exatamente um ou nenhuma paralela a uma reta dada .
• Nicolai Ivanovitch Lobachevsky (1792-1856) - Russo natural de Gorki;
- Sua vida acadêmica na Universidade de Karzan foi primeiro como aluno, depois como professor e de 1827 a 1846 como reitor;
- Publicou em russo (1829/30) o primeiro artigo sobre geometria não-euclidiana no Karzan Bulletin, dois ou três anos antes de Bolyai;
- Uma versão de suas idéias geométricas (1829/30) chegou a ser recusada para a publicação pela academia de ciências de San Petersburgo;
- Na tentativa de provar o V Postulado admitiu que seria impossível, surgindo assim, uma nova geometria;
- Nessa geometria, hoje conhecida como geometria hiperbólica, a soma dos ângulos internos de um triângulo é menor que 180º;
- As geometrias não-euclidianas eram verdadeiros tabus naquela época;
- Em 1840 publicou um pequeno livro em alemão intitulado “Geometrishe Lentersuchungen Zeir Theorie der Parallellinien (Investigações Geométricas Sobre as Teorias das Paralelas), com o objetivo de abranger o maior número de leitores;
- Em 1855, após ficar cego, fez uma abordagem final em francês com titulo “Pangéometrie” (Pangeometria)
- Morreu sem ver seus trabalhos reconhecidos.
- Húngaro;
- Filho de Farkas (ou Wolfgang) Bolyai, professor de matemática amigo pessoal de Gauss com quem mantinha correspondência;
- Estimulado pelo pai a estudar o postulado das paralelas, em 1823 escreveu uma carta ao pai mostrando entusiasmo pelo seu trabalho;
- Frase: “Do nada eu criei um universo novo e estranho”;
- Em 1829 enviou um manuscrito a seu pai e três anos mais tarde o ensaio aparecia como apêndice do primeiro trabalho de seu pai;
- Não publicou mais nada apesar de ter muitos manuscritos;
- Seu interesse principal era a “Ciência Absoluta do Espaço”, que eram proposições que não dependiam do quinto postulado que logo valeriam em qualquer geometria;
- Em 1817 ingressou no Royal College para engenheiros em Viena;
- Em 1848 tomou conhecimento de que a honra pela descoberta da nova geometria deveria ser dividida com outra pessoa.
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