- 1 Definição
- 2 Sintaxe em linguagens de programação e programas
- 3 Ver também
- 4 ReferênciasDefinição
Gráfico da função exponencial (base 2). As potências são explicadas em uma série de passos envolvendo matemática básica.
Todos esses passos se baseiam na generalização das leis seguintes, que podem ser facilmente provadas para n e m inteiros positivos:
[editar] Expoente zeroPara que
continue valendo para n = 0, devemos ter:
[editar] Expoentes inteiros negativosPara que
- = a(n + m)
seja válido para n + m = 0, é necessário que elevar um número (exceto 0) à potência -1 produza seu inverso.
Então:
Elevando 0 a uma potência negativa implicaria uma divisão por 0, sendo assim indefinido.
Um expoente inteiro negativo também pode ser visto como uma divisão pela base. Logo:
Pode-se provar que, com essa definição, continua valendo para .
[editar] Expoentes um e zero- qualquer número elevado a um é igual a ele mesmo.
- qualquer número (exceto o 0) elevado a 0 é igual a 1.
[editar] IndeterminaçõesNa exponenciação, é possível chegar às formas de indeterminação a seguir:
[editar] Potências cujo expoente não altera o resultado[editar] Potências de 0As potências de 0 são as potências de base 0, dados por 0n n>0. A matemática julga ser indeterminado o valor da potência: 00, mas as outras potências cuja base é 0 e cujo expoente é positivo, têm como resultado o próprio 0.
[editar] Potências de 1As potências de 1 são as potências de base 1, dados por 1n, sendo n pertencente aos reais. Não importa o valor de "n", 1n será sempre 1. Não se pode afirmar que 0 elevado a 0 é igual a 1.
[editar] Potências de 10Multiplicações sucessivas por 10 são fáceis de efectuar pois usamos um sistema decimal. Por exemplo, 106 é igual a um milhão, que é 1 seguido de 6 zeros. Exponenciação com base 10 é muito utilizada na física para descrever números muito grandes ou pequenos em notação científica; por exemplo, 299792458 (a velocidade da luz no vácuo, em metros por segundo) pode ser escrita como 2.99792458 × 108 e então aproximada para 2.998 × 108. Os prefixos do sistema internacional de unidades também são utilizados para medir quantidades grandes ou pequenas. Por exemplo, o prefixo "kilo" (quilo) significa 103 = 1000, logo, um quilómetro é igual a 1000 metros.
[editar] Potências de 2Potências de 2 são importantes na ciência da computação. Por exemplo, existem 2n valores possíveis para uma variável que ocupa n bits da memória. 1 kilobyte = 210 = 1024 bytes. Como pode haver confusão entre os significados padrão dos prefixos, em 1998 a Comissão Eletrotécnica Internacional aprovou vários prefixos binários novos. Por exemplo, o prefixo de múltiplos de 1024 é kibi-, então 1024 bytes é equivalente a um kibibyte. Outros prefixos são mebi-, gibi- e tebi-.
[editar] Expoentes fracionáriosPara que a expressão
- = x(n + m)
seja válida para números racionais, devemos ter:
- =
Ou, de forma genérica, para qualquer expoente fracionário, o denominador do expoente é o índice da raiz e o numerador é o expoente do radicando.
- =
Observe que para que isso seja válido, independentemente da fração usada no expoente, deve-se impor que x seja um número positivo.
[editar] Expoentes decimaisNo caso de expoente decimal, devemos transformá-lo em fração e depois em raiz.
[editar] Expoentes irracionaisComo a exponenciação tem a propriedade de que expoentes próximos geram resultados próximos (essa noção pode ser tornada mais precisa usando-se o conceito de continuidade), pode-se definir expoentes irracionais:
[editar] Expoentes imaginários e complexos Euler divulgou a fórmula
que, sob a forma equivalente já era conhecida por Roger Cotes.
Assim, usando-se logaritmos, pode-se definir para qualquer a real e z complexo, z = x + i y:
[editar] Sintaxe em linguagens de programação e programasA maioria das linguagens de programação fornece métodos para executar a exponenciação, porém eles variam entre as diversas linguagens:
- x ^ y: Basic, Matlab, R, Excel, Calculadora Cientifica e vários outros
- x ** y: Fortran, Perl, Python, Ruby, Bash
- pow(x, y): C, C++ (deve-se incluir a biblioteca math.h)
- Math.pow(x, y): Java, JavaScript
- $x^y$: LaTeX
- Em pascal não existe a função correspondente, podendo ser utilizado no lugar, por exemplo, a função logaritmo (função ln()) juntamente com a exponencial (função exp()) (ambos na base e), na forma exp(y * ln(x)), ou até mesmo um ciclo de repetição, com multiplicações sucessivas.
- Os compiladores Pascal aceitam a notação x ^ y.
Um cuidado deve ser tomado: como, normalmente, os compiladores traduzem a potenciação pela expressão exp(y * ln(x)), quando e y for inteiro, o compilador costuma dar erro, mesmo havendo uma resposta única.
Outro cuidado deve ser tomado no Excel. Ao contrário de outras linguagens de programação, uma expressão do tipo =-A1^2, que, significaria tirar o quadrado de A1 e depois aplicar o sinal menos, no Excel pode significar (-A1)^2. Para evitar este bug (e outros), recomenda-se o uso de parêntesis sempre no Excel, mesmo quando, matematicamente, eles sejam redundantes. Além disso, a exponencial no Excel pode ser substituída por uma função (em português, "POTÊNCIA", em inglês, "POWER"), tornando o código totalmente ilegível.
[editar] Ver também
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