Equação do 2° Grau: Forma Reduzida Fatoração (Trinomio quadrado perfeito)

Conteudo:

EQUAÇÕES POLINOMIAIS DE 2º GRAU (conceito e estratégias de resolução)

·

Forma reduzida e coeficientes

É importante que você saiba escrever uma equação de 2º grau na sua forma reduzida e

que saiba, então, reconhecer seus coeficientes “a”, “b” e “c”.

Ex.: A equação 2x(x – 7) = -13 x + 5 não está na forma reduzida, mas pode ser colocada:

2x(x – 7) = -13 x + 5

2x

2x

Coeficientes: a = 2, b = -1 e c = -5

2 – 14 x + 13x – 5 = 02 – x – 5 = 0 forma reduzida

·

Resolucao

Existem diversas estratégias para resolver uma equação polinomial de 2º grau. É

importante saber reconhecer quando uma dessas estratégias é mais vantajosa que outra.

Equações incompletas

o

b=0, ou seja, quando não há termo em x na equação.

Ex.: 4x

4x

x

Isolamento da incognita, por meio das operacoes inversas: usa-se quando2 – 1 = 02 = 12 =

1

4

S = { -1/2 ; 1/2}

x =

1 1

4 2

± = ±

o

há termo independente de x ou de x

Ex.: 3x

x (3x – 7) = 0 (Analisar o produto zero!)

Fatoração (fator comum em evidencia): usa-se quando c=0, isto é, quando não2.2 – 7x =

x = 0

x = 7/3

ou 3x – 7 = 0 S = {0 ; 7/3}

Equações completas

o

vez de desenvolver, fica bem mais fácil analisar os fatores.

Ex.: (x – 11) (2x – 1) = 0

x – 11 = 0 ou 2x – 1= 0

x = 11 x = 1/2

Produto igual a zero: se há uma expressão fatorada resultando em zero, emS = {1/2 ; 11}

Obs1: Essa estratégia serve para resolver muitas equações, mesmo algumas

que não são de 2º grau.

Obs2: Se o produto não for igual a zero, mas a outro valor, não se pode

proceder dessa maneira.

o

precisamos desenvolver, mas analisar a expressão para que dê zero.

Ex.: (2x – 8)

2x – 8 =

Quadrado zero: se o quadrado de uma adição ou subtração é igual a zero, não2 = 0± 0

2x – 8 = 0

x = 8/4

S = {2}

x = 2

o

desenvolver a expressão, mas analisá-la.

Ex.1 : (2x – 8)

2x – 8 =

Quadrado resultando em outro numero: Também não precisamos2 = 9± 9

2x – 8 = ± 3

2x – 8 = 3 ou 2x – 8 = -3

S = {5/2 ; 11/2}

2x = 11 2x = 5

x = 11/2 x = 5/2

Ex. 2: (x + 1)

x + 1 =

2 = ± 5 S = { - 5 - 1; 5 - 1 }

x =

5 - 1 ou x = - 5 - 1

o

um trinômio quadrado perfeito (TQP), podemos fatorá-lo e proceder como nos

casos anteriores.

Ex.: x

(x + 1)

x + 1 =

Fatoracao (trinomio quadrado perfeito): se um dos membros da equação é2 + 2x + 1 = 362 = 36± 36

x + 1 = ± 6

x + 1 = 6 ou x + 1 = - 6

S = { -7 ; 5 }

x = 5 x = - 7

o

trinômio quadrado perfeito, para poder resolver como na estratégia anterior.

Ex.: x

x

x

Completamento de quadrado: podemos transformar uma expressão num2 + 14x + 24 = 02 + 14x = -242 + 14x + 49 = - 24 + 49 (O 49, nesse caso, completa o quadrado!)

x

(x + 7)

x + 7 =

2 + 14 x + 49 = 252 = 25± 25

x + 7 = ± 5

x = 5 – 7 ou x = - 5 – 7 S = {-12; 2}

x = 2 x = - 12

o

Formula resolutiva ou formula de Bhaskara: pode ser usada em qualquer

equação do 2º grau, bastando identificar com precisão quais são seus

coeficientes “a”, “b” e “c”. Por isso, antes de resolver uma equação por

Bhaskara, deve-se escrevê-la na forma reduzida.

Discriminante: Δ =

b2 – 4ac

Formula:

2

b

x

a

=

- ± D

Ex. 1: x

a = 1, b = - 6 e c = 5

2 - 6x + 5 = 0

Δ =

b2 – 4ac = (-6)2 – 4∙ 1∙ 5 = 36 – 20 = 16

( 6) 16 6 4

2 2 1 2

b

x

a

= - ± D = - - ± =

± ×

x = 10/2= 5 ou x = 2/2= 1

S = {1; 5}

Ex. 2: 3x

a = 3, b = -7 e c = 0

2 – 7x = 0 (Repare que essa é uma equação incompleta!)

Δ =

b2 – 4ac = (-7)2 – 4∙ 3∙ 0 = 49 – 0 = 49

( 7) 49 7 7

2 2 3 6

b

x

a

= - ± D = - - ± =

± ×

x = 14/6 = 7/3 ou x = 0/2 = 0

Exercicios

S = {0; 7/3}

Resolva as equações, nos reais, usando a estratégia que julgar mais adequada.

a)

x2 – 81 = 0 S = {-9; 9}

b)

3y2 – 75 = 0 S = {-5; 5}

c)

– x2 + 4 = 0 S = {-2; 2}

d)

x2 – 5 = 0 S={- 5 ; 5 }

e)

x2 + 4 = 0 S = { }

f)

3x2 + 5x = 0 S= {-5/3 ; 0}

g)

x2 – x = S = {0; 1}

h)

– 4x2 – 12x = 0 S = {-3; 0}

i)

S= {-

(3y – 4) (3y + 1) = 14 – 9y2 ; 2 }

j)

(2x +3) (- x + 5) = 0 S= {-5; -3/2}

k)

(x – 1) (2x – 8) = 0 S = {1; 4}

l)

(x – 3) (x – 7) = 21 S = {0; 10}

m)

(x + 10)2 = 0 S = {-10}

n)

(3x – 27)2 = 0 S = {9}

o)

(x 2) 4 2 - = S = {0;4}

p)

(7 – x)2 = 9 S = {4; 10}

q)

x2 – 6x + 9 = 0 S = {3}

r)

4x2 + 4x + 1 = 0 S = {-1/2}

s)

x2 + 12x + 36 = 81 S = {-9;-3}

t)

9x2 + 12x + 4 = 9 S={-5/3; 1/3}

u)

x2 + 6x = 16 S = {-8; 2}

v)

x2 – 4x – 5 = 0 S = {-1; 5}

w)

x2 + x + 20 = 0 S = { }

x)

x2 + 9x + 14 = 0 S = {–7, –2}

y)

y2 – 3y – 10 = 0 S = {–2, 5}

z)

(x + 4)2 = 9x + 22 S = {–2, 3}BOM ESTUDO!