Em uma família com 4 integrantes, o primeiro consome 1200 ml de leite por dia, o segundo 1400 ml, o terceiro 1000 ml e o quarto integrante consome 1600 ml de leite por dia.
O consumo total diario desta família também seria de 5200 ml se cada um dos seus 4 integrantes consumisse 1300 ml diarios de leite.
A função da média é justamente esta, transformar um conjunto de números diversos em um único valor, a fim de que se possa ter uma visão global sobre os dados.
Média Aritmética Simples
Dos vários tipos de médias utilizados, o mais simples e o mais comum é a
média aritmética simples.
Dados os números
1200,
1400,
1000 e
1600, para apurarmos o valor médio artimético deste conjunto, simplesmente o totalizamos e dividimos o total obtido pela quantidade de valores do conjunto:
Agora preste atenção neste conjunto de números após o colocarmos em ordem crescente:
{
1000,
1200,
1400,
1600 }
Observe que se fossemos inserir o valor médio de
1300 neste conjunto de números ordenados, a sua posição seria exatamente no meio da sequência, ou seja, seria o valor médio.
Observe ainda está propriedades das médias, que se o valor médio for inserido ao conjunto de números originais, a média ainda continuará a mesma:
Digamos que em um concurso você tenha feito três provas e tenha tirado as seguintes notas:
10,
8 e
3. Qual foi a sua nota média afinal?
Vejamos:
Como a nota mínima para passar no concurso era a nota
7, você se sente feliz e aliviado por ter conseguido alcançá-la.
Média Aritmética Ponderada
Mas foi aí que lhe veio a surpresa! Na última hora você soube que a nota média seria calculada atribuindo-se um peso diferente a cada prova. Você fica apreensivo. E agora?!?
Nos bastidores você soube que a primeira prova teria peso
3, a segunda peso
2 e a terceira teria peso
5. Vamos aos cálculos:
Que pena meu rapaz! Infelizmente a sua média de
6,1 não atingiu o valor mínimo de
7.
Epa! Espere um pouco! Você cometeu um erro! Os pesos não estão na ordem correta! A primeira prova teria peso
3, a segunda peso
5 e a terceira teria peso
2. Vejamos se houve alguma mudança, parece-me que você ainda tem chances:
Parabéns! Você foi aprovado, afinal de contas a sua média final até melhorou!
Como você pode perceber, a
média aritmética ponderada possibilita atribuir peso ou importância diferentes a cada valor. Provavelmente por ser mais importante no processo de seleção, a segunda nota tinha um peso maior. Por isto os itens com maior peso influenciam mais na média final que os de menor peso. Veja o exemplo abaixo:
Você percebe que o primeiro valor tem peso
1, sete vezes menor que o peso do segundo valor que é igual a
7. Por isto a média final se aproximou muito mais de segundo valor (
2), que do primeiro (
10), embora este tenha sido cinco vezes maior que o segundo.
Resumindo, para se apurar a
média aritmética ponderada, primeiramente multiplique cada valor pelo seu respectivo peso. Some todos os produtos encontrados e divida este total pela soma dos pesos.
Exercícios Resolvido
1) Qual é a média aritmética simples dos números 11, 7, 13 e 9?
Como visto na parte teórica, a solução deste exercício resume-se em somarmos os números e dividirmos este total por quatro, que é a quantidade de números:
Logo:
A média aritmética simples destes números é 10.
Neste outro caso a solução consiste em multiplicarmos cada número pelo seu respectivo peso e somarmos todos estes produtos. Este total deve ser então dividido pela soma total dos pesos:
Assim sendo:
A média aritmética ponderada deste conjunto de números é 22.
Se dispusermos de uma calculadora científica, este exercício pode ser solucionado multiplicando-se todos os números e extraindo-se do produto final, a raiz de índice cinco, pois se tratam de cinco números:
Se não dispusermos de uma calculadora científica esta solução ficaria meio inviável, pois como iríamos extrair tal raiz, isto sem contar na dificuldade em realizarmos as multiplicações?
Repare que todos os números são potência de 2, podemos então escrever:
Como dentro do radical temos um produto de potências de mesma base, somando-se os expoentes temos:
Finalmente dividindo-se o índice e o expoente por 5 e resolvendo a potência resultante:
Então:
A média geométrica deste conjunto de números é 8.
Na parte teórica vimos que a soma dos elementos de um conjunto de números, dividida pela quantidade de elementos deste conjunto, resulta na média aritmética simples entre eles. Se chamarmos esta soma de
S, em função do enunciado podemos nos expressar matematicamente assim:
Passando o divisor
4 para o segundo membro e o multiplicando pelo termo
2,5, obteremos a soma destes quatro números que é igual a
10:
Ao incluirmos o número
8 neste conjunto de números, a soma dos mesmos passará de
10 para
18 e como agora teremos 5 números ao invés de 4, a média dos mesmos será
18 dividido por
5 que é igual a
3,6:
Portanto:
Ao inserirmos o número
8 neste conjunto de números, a média aritmética simples passará a ser igual a 3,6.
Sabemos que a média aritmética simples de um conjunto de números é igual à soma dos mesmos dividida pela quantidade de números deste conjunto. Se chamarmos de
S a soma da altura de todos os alunos desta classe e de
n o número total de alunos, podemos escrever a seguinte equação:
Isolando a variável
S temos:
O enunciado nos diz que se retirarmos todos os oito alunos que medem 163cm, teremos 148cm como a nova média de altura da turma. Expressando esta informação em forma de equação temos:
Novamente isolemos a variável
S:
Como na primeira equação calculamos que
, vamos trocar
S na segunda equação por
150n:
Enfim:
Nesta sala de aula há 60 alunos.
Chamemos de
a e
b estes dois números.
A média aritmética deles pode ser expressa como:
Já média geométrica pode ser expressa como:
Vamos isolar
a na primeira equação:
Agora para que possamos solucionar a segunda equação, é necessário que fiquemos com apenas uma variável na mesma. Para conseguirmos isto iremos substituir
a por
41 - b:
Note que acabamos obtendo uma equação do segundo grau:
Solucionando a mesma temos:
O número
b pode assumir, portanto os valores
16 e
25.
É de se esperar, portanto que quando
b for igual a
16, que
a seja igual a
25 e quando
b for igual a
25, que
a seja igual a
16. Vamos conferir.
Sabemos que
, portanto atribuindo a
b um de seus possíveis valores, iremos encontrar o valor de
a.
Para
b = 16 temos:
Para
b = 25 temos:
Concluindo:
Os dois números são 16 e 25.
Se chamarmos de
P o produto destes dois números, a partir do que foi dito no enunciado podemos montar a seguinte equação:
Elevando ambos os membros desta equação ao quadrado, iremos obter o valor numérico do produto destes dois números:
Agora que sabemos que o produto de um número pelo outro é igual
36, resta-nos multiplicá-lo por
48 e extraímos a raiz cúbica deste novo produto para encontrarmos a média desejada:
Note que para facilitar a extração da raiz cúbica, realizamos a decomposição dos números
36 e
48 em fatores primos. Acesse a página
decomposição de um número natural em fatores primos para maiores informações sobre este assunto.
Respondendo à pergunta:
Ao juntarmos o número 48 aos dois números iniciais, a média geométrica passará a ser 12.
Interpretando o enunciado, entendemos que devemos somar o valor total de dois produtos e depois dividir este total pela soma da quantidade destes dois produtos, de sorte que o resultado, ou seja, a média, resulte em R$ 6,00/kg.
A representação matemática desta situação pode ser vista abaixo:
Como sabemos que
A = 30, vamos substituí-lo na equação a fim de podermos encontrar o valor de
B:
Portanto:
12 kg do produto B serão utilizados nesta mistura para que o quilograma do produto final custe R$ 6,00.
Nesta classe de
50 alunos temos
15 meninos e consequentemente temos
35 meninas.
Se somarmos a pontuação total obtida pelas meninas, à pontuação total obtida pelos meninos e dividirmos o valor desta soma pelo número de alunos da classe, iremos obter a sua média que é igual a
7,7.
Como sabemos, ao multiplicarmos o valor da média pela quantidade de elementos, obtemos o somatório dos mesmos.
Em função do explanado acima, para solucionar o problema vamos montar uma equação onde chamaremos de
x a média das notas das meninas:
Solucionando a equação temos:
Logo:
A média das notas das meninas é igual a 8.
Quando falamos de média aritmética simples, ao diminuirmos um dos valores que a compõe, precisamos aumentar a mesma quantidade em outro valor, ou distribuí-la entre vários outros valores, de sorte que a soma total não se altere, se quisermos obter a mesma média.
Neste exercício,
três dos elementos devem ter o menor valor possível, de sorte que o quarto elemento tenha o maior valor dentre eles, tal que a média aritmética seja igual a
44. Este será o maior valor que o quarto elemento poderá assumir.
Em função do enunciado, os três menores valores inteiros, pares, distintos e não nulos são:
2,
4 e
6.
Identificando como
x este quarto valor, vamos montar a seguinte equação:
Solucionando-a temos:
Assim sendo:
O maior valor que um desses números pode ter é 164.
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